Question

设函数（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ） 若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求实数c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由（b，c∈R，c≠0），知=，由x=1为f（x）的极值点，知．由x=1为f（x）的极大值点，知c＞1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，则f（1）=0，实数c的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵（b，c∈R，c≠0），
∴=，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，
∴b+c+1=0，且c≠1，
．
∵x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜c时，f′（x）＜0；
当x＞c时，f′（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，
在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，
则f（1）=0，
即，所以；
若0＜c＜1，则，

因为b=-1-c，则
，
从而f（x）=0恰有一解；
若c＞1，则
，
从而f（x）=0恰有一解；
所以所求c的范围为{c|}．．