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高中数学试题
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双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B...
双曲线C：
的左右焦点分别为F
1
、F
2
，过F
1
的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF
2
是等边三角形，则双曲线C的离心率为
．
根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率． 【解析】 根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a， ∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB| ∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a 又∵|AF2|-|AF1|=2a， ∴|AF2|=|AF1|+2a=4a， ∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120° ∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120° 即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-）=28a2，解之得c=a， 由此可得双曲线C的离心率e== 故答案为：
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考点分析：
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试题属性
题型：填空题
难度：中等
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