(Ⅰ)①确定函数的定义域,求出导函数,利用f(x)在处取得极值,可得,从而可建立方程组,即可求出a,b值;
②在存在x,使得不等式f(x)-c≤0成立,则只需c≥[f(x)]min,利用导数确定函数的最小值,即可求解;
(Ⅱ)当 a=b 时,,分类讨论:①当a=0时,f(x)=lnx;②当a>0时,f'(x)>0;③当a<0时,设g(x)=2ax2+x+a,只需△≤0,从而可得结论
【解析】
(Ⅰ)①∵,定义域为(0,+∞)
∴
∵f(x)在处取得极值,
∴
即,所以所求a,b值均为
②在存在x,使得不等式f(x)-c≤0成立,则只需c≥[f(x)]min
由
∴当时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈[1,2]时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴f(x)在处有极小值
而
又,
因,
∴,
∴,
故 .
(Ⅱ)当 a=b 时,
①当a=0时,f(x)=lnx,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,∵x>0,∴2ax2+x+a>0,∴f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当a<0时,设g(x)=2ax2+x+a,只需△≤0,从而得,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减;
综上可得,