Question

已知 f（x）=ax²+c的图象经过点（2，1），且在x=1处的切线方程是2x-4y-1=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）点P是直线y=-1上的动点，自点P作函数f（x）的图象的两条切线PA、PB（点A、B为切点），求证直线AB经过一个定点，并求出定点的坐标．

Answer

（1）先对函数求导，结合导数的几何意义及已知切线的斜率可求a，由图象经过点（2，1），代入可求c，可求解函数解析式
（2）先设点P（x，-1），切点坐标为，由，可表示切线的斜率为，可求切线方程，由此切线经过点P代入可得x与t的方程再分别设两切点坐标为，结合方程的根与系数关系及直线的斜率公式可求直线AB的方程即可求解
【解析】
（1）因为f′（x）=2ax，…（1分）
而切线2x-4y-1=0的斜率为，所以，
又图象经过点（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，
所以函数…（5分）
（2）设点P（x，-1），切点坐标为，，
那么切线的斜率为，…（6分）
所以切线方程为，整理得到：，…（8分）
此切线经过点P（x，-1），则t2-2xt-4=0，…（9分）
再分别设两切点坐标为，
那么t1t2=-4，t1+t2=2x，…（10分）
又直线AB的斜率，…（11分）
所以直线AB的方程为
整理得到：，而t1t2=-4，
所以直线AB的方程为，…（13分）
所以直线AB经过定点（0，1）…（14分）