(I)°由题意及图形建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标,利用AC∥PC1,建立点D的汗有未知数x的坐标,利用PB1∥平面BDA1建立x的方程,解出即证出所求;
(II)由题意及(I)所建立的坐标系,利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小;
(III)利用空间向量求带到平面的距离公式求出点你到平面的距离.
【解析】
(I)由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系:
以A1点为原点,A1B1,A1C1,A1A所在的直线分别为x,y,z轴,
建立图示的空间直角坐标系,则A1(0,0,0)B1(1,0,0)C1(0,1,0)B(1,0,1)
(I)设C1D=x,
∵AC∥PC1
∴
可设D(0,1,x),
∴=(0,1,x),
设平面BA1D的一个法向量为=(a,b,c),
则⇒ 令a=1,则=(1,x,-1)∵PB1∥平面BA1D
∴0=0⇒x=;
故CD=C1D.
(II)由(I)知,平面BA1D的一个法向量为
又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,∴cos<.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.
(III)∵
设平面B1DP的一个法向量为=(x,y,z),
则⇒
令z=1,∴
又∴C到平面B1PD的距离d=.