Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，
∴|MN|==
∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为，
∴
∴k=±1．