Question

给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b互为异面直线，c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；
②若直线a与b异面，过不在直线a、b上一点A可作一条与a和b都相交的直线；
③若直线a与b异面，则存在唯一 一个过a的平面α与b平行．
其中正确的命题为（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①③

Answer

画出图形判断①的正误；通过反例判断②的正误；利用直线与平面平行关系判断③的正误．
【解析】
对于①，平面α上的直线a与平面β上的直线b互为异面直线，如图，c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；c与a、b都相交；故命题①不正确；
对于②，若直线a与b异面，过不在直线a、b上一点A可作一条与a和b都相交的直线，例如正方体中，上下底面的异面直线，在上底面取步骤异面直线上的点，不存在满足②的直线．所以②不正确．
对于③，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以③正确．
故选C．