Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（1）求证：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（2）求证：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（3）求四面体EGFF₁的体积．

Answer

（1）根据AF∥BE，AF⊄平面BB1E1E，满足线面平行的判定定理，则AF∥平面BB1E1E，同理可证，AA1∥平面BB1E1E，根据面面平行的判定定理可知平面AA1F1F∥平面BB1E1E，又F1G⊂平面AA1F1F，根据面面平行的性质可知F1G∥平面BB1E1E；
（2）根据底面ABCDEF是正六边形，则AE⊥ED，又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，而E1E∩ED=E，根据线面垂直的判定定理可知
AE⊥平面DD1E1E，又AE⊂平面F1AE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面F1AE⊥平面DEE1D1；
（3）根据F1F⊥底面FGE，则四面体EGFF1的高为F1F，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解析】

（1）证明：因为AF∥BE，AF⊄平面BB1E1E，
所以AF∥平面BB1E1E，（2分）
同理可证，AA1∥平面BB1E1E，（3分）
所以，平面AA1F1F∥平面BB1E1E（4分）
又F1G⊂平面AA1F1F，所以F1G∥平面BB1E1E（5分）
（2）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，（7分）
又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，
因为E1E∩ED=E，所以AE⊥平面DD1E1E，（9分）
又AE⊂平面F1AE，所以平面F1AE⊥平面DEE1D1（10分）
（3）∵F1F⊥底面FGE，
=