如图，△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面...

如图，△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E，F分别为DB，CB的中点，
（1）证明PE∥平面ABC；
（2）证明AE⊥BC；
（3）求直线PF与平面BCD所成的角的大小．

（1）连接EF，AF．由面面垂直的性质证出CD⊥平面ABC，从而得到PA∥CD，再用三角形中位线定理和DC=2PA，证出四边形PAFE是平行四边形，可得PE∥AF，结合线面平行判定定理即可得到PE∥平面ABC；（2）根据线面垂直的性质，得到BC⊥PA．由正三角形的性质，得出BC⊥AF，结合线面垂直判定定理得到BC⊥平面PAFE，从而证出AE⊥BC；（3）由面面垂直的性质和平行线的性质，可得PE⊥平面BCD，从而得到，∠PFE就是直线PF与平面BCD所成的角．在RtPEF中，利用题中的数据和正切的定义算出∠PFE的正切值为，从而得到∠PFE=60°，即得直线PF与平面BCD所成的角的大小．【解析】（1）连接EF，AF ∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，CD⊥BC ∴CD⊥平面ABC，结合PA⊥平面ABC，可得PA∥CD ∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD且EF=CD ∵PA∥CD且PA=CD，∴四边形PAFE是平行四边形，可得PE∥AF， ∵PE⊄平面ABC，AF⊂平面ABC，∴PE∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA ∵正△ABC中，F为BC中点，∴BC⊥AF ∵AF、PA是平面PAFE内的相交直线， ∴BC⊥平面PAFE， ∵AF⊂平面PAFE，∴AE⊥BC；（3）∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AF⊥BC ∴AF⊥平面BCD，结合PE∥AF可得PE⊥平面BCD，因此，∠PFE就是直线PF与平面BCD所成的角 ∵正△ABC中，F为BC中点，∴AF=BC，可得PE=BC，又∵△BCD的中位线FE=CD，CD=BC，∴FE=BC 因此RtPEF中，tan∠PFE==，可得∠PFE=60° 即直线PF与平面BCD所成的角的大小为60°．

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