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设椭圆=1(a>b>0)过点,且左焦点为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)当过点P...

设椭圆manfen5.com 满分网=1(a>b>0)过点manfen5.com 满分网,且左焦点为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,证明:点Q总在某定直线上.
(Ⅰ)通过椭圆焦点坐标知c=,且有a2=b2+c2,又点M的坐标满足椭圆方程,则列方程组解之即可; (Ⅱ)欲证点Q总在某定直线上,所以先设点Q的坐标为变量(x,y),点A、B的坐标分别为参数(x1,y1)、(x2,y2),然后根据已知条件可变形得,设其比值为λ则有、,此时利用定比分点定理可得A、B、P三点横坐标关系及纵坐标关系,同时可得A、B、Q三点横坐标关系及纵坐标关系,又因为点A、B的坐标满足椭圆方程,则有x12+2y12=4,x22+2y22=4,再利用已得关系式构造x12+2y12与x22+2y22则可整体替换为4,同时消去参数λ,最后得到变量x、y的关系式,则问题得证. 【解析】 (Ⅰ)由题意得, 解得a2=4,b2=2, 所以椭圆C的方程为. (Ⅱ)设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2). 由题设知,,,均不为零,记,则λ>0且λ≠1 又A,P,B,Q四点共线,从而 于是,,, 从而①,②, 又点A、B在椭圆C上,即x12+2y12=4 ③,x22+2y22=4 ④, ①+②×2并结合③、④得4x+2y=4, 即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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