Question

已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer

（1）赋值法：令x=y=0可求得f（0），再令y=-x即可判定其奇偶性；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1），由x＞0时，有f（x）＜0可得f（x2）与f（x1）的大小关系，由单调性定义即可判定单调性；
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数，从而可判断其最值在端点处取得，再由及已知条件即可得到答案；
【解析】
（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1），
有f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
又∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
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