Question

已知函数
（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的范围．

Answer

（1）求出函数定义域，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，等价于f（x）min≥0，分a＞0，a≤0两种情况求f（x）的最小值即可，用导数易求函数的最小值；
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
，
当0＜a＜1时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∝）
f'（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；
（2）由于，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的；
当a≤0时，易得函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是，此时只要f（1）≥0即可，解得，
∴实数a的取值范围是（-∞，-）．