Question

椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．
【解析】
由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：
即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点
∴原点到直线AB的距离为
∴a2b2=c2（a2+b2）
∴a2（a2-c2）=c2（2a2-c2）
∴a4-3a2c2+c4=0
∴e4-3e2+1=0
∴
∵0＜e＜1
∴
故选C．