Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的点C变为C₁，且AC₁=2．
（1）求证：平面ABD⊥平面BC₁D；
（2）E为线段AC₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时，DE与平面BC₁D所成的角为30°？

Answer

（1）利用勾股定理及其逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量与平面的法向量所成的角即可得到线面角．
（1）证明：∵AB=1，BD=，∠ABD=90°，∴AD===BC，
∵AC1=2，∴=，∴，∴AB⊥BC1．
又AB⊥BD，BC1∩BD=B，∴AB⊥平面BC1D，
∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BC1D．
（2）在平面BC1D过点B作直线l⊥BD，分别以直线l，BD，BA为x，y，z建立空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，1），C1（1，，0），D（0，，0），
∴，，
设，则，∴．
又是平面BC1D的一个法向量，
依题意得，即，
解得，即|C1E|=1时，DE与平面BC1D所成的角为30°．