Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（Ⅰ）求证：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（Ⅱ）求证：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（Ⅲ）求异面直线EG与F₁A所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用平面AA1F1F与平面BB1E1E平行，来证明直线F1G∥平面BB1E1E即可．
（Ⅱ）先由AE⊥ED以及E1E⊥AE⇒AE⊥平面DD1E1E，就可得平面F1AE⊥平面DD1E1E．
（Ⅲ）利用底面ABCDEF是正六边形得EF⊥BF．建立如下图所示的空间直角坐标系，求出对应点的坐标以及和的坐标即可求出异面直线EG与F1A所成角的余弦值．
证明：（Ⅰ）因为AF∥BE，AF⊄平面BB1E1E，
所以AF∥平面BB1E1E，
同理可证，AA1∥平面BB1E1E，
所以，平面AA1F1F∥平面BB1E1E
又F1G⊂平面AA1F1F，所以F1G∥平面BB1E1E
（Ⅱ）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，
又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，
因为E1E∩ED=E，所以AE⊥平面DD1E1E，
又AE⊂平面F1AE，所以平面F1AE⊥平面DD1E1E
（Ⅲ）由于底面ABCDEF是正六边形，
所以EF⊥BF．如图，
建立如图所示的空间直角坐标系．则
E（0，2，0），G（，-，0），F1（0，0，2），A（，-1，0）．
则=（，-，0），=（，-1，-2），
从而两异面直线EG与F1A所成角的余弦值为
cosθ===