Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=3，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ） （理科）在（Ⅰ）的条件下，求使不等式对一切n∈N^*均成立的最大实数p．

Answer

（1）由A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得an+1-a1=an+2-a2，进而可判断出an+2-an-1=2，结合等差数列的定义，可判断数列{an}为等差数列，进而得到数列的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2-a2=q（an+1-a1），进而可得，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
（III）不等式可化为恒成立，构造函数并求出函数的最小值，可得p的取值范围，进而得到p的最大值．
【解析】
（Ⅰ）对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即an+1-a1=an+2-a2，
亦即an+2-an-1=a2-a1=2．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是an=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，
得an+2-a2=q（an+1-a1），
即an+2-qan+1=a2-a1．由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
（Ⅲ）（理科）
由题意得恒成立
记，
则
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，
∴，
即．