Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极限值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer

（1）由f（x）在x=2处有极值得，f'（2）=0，f（x）图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，得f'（1）=-3，联立方程组解出即可；
（2）在x∈[1，3]内，f（x）=x3-3x2+c＞1-4c2恒成立，等价于f（x）min＞1-4c2，利用导数易求得函数f（x）在[1，3]上的最小值；
【解析】
（1）∵f（x）=x3+3ax2+3bx+c，∴f'（x）=3x2+6ax+3b，
∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=12+12a+3b=0，①
又∵f（x）图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴f'（1）=3+6a+3b=-3，②
联立①②解得  a=-1，b=0；
（2）在x∈[1，3]内，f（x）=x3-3x2+c＞1-4c2恒成立，等价于f（x）min＞1-4c2，
由f'（x）=3x2-6x=0，解得x=0或x=2，
又∵f（2）=c-4，f（1）=c-2，f（3）=c，
∴f（x）min=c-4，
∴c-4＞1-4c2，解得c的取值范围为．