Question

已知椭圆内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．
（1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．

Answer

（1）利用“点差法”求得直线的斜率即可得到直线的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，满足OP⊥AB，求出此时直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式即可．
【解析】
（1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，
由A、B在椭圆上，得
又∵P（2，1）是AB的中点，∴．
由①-②得 ，
∴k==-．
∴直线AB的方程为y-1=-（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．
∵kOP=，∴kAB=-2，
∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
联立方程组 得 40x2-180x+189=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，
∴|AB|==．
∴S△AOB=|OP||AB|=．