Question

若函数f（x）=x³-ax²-3x+1在x=-1处取得极值．
（1）求a的值．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）若对任意的x∈[-1，4]都有f（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer

（1）求导数f′（x），由f（x）在x=-1处取得极值得f′（-1）=0，解出即可；
（2）由（1）写出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调区间；
（3）对任意的x∈[-1，4]都有f（x）≥m成立，等价于f（x）min≥m，根据函数f（x）在[-1，4]上的单调性易求得函数最小值；
【解析】
（1）f′（x）=x2-2ax-3，
因为f（x）在x=-1处取得极值，所以f′（-1）=1+2a-3=0，解得a=1，
经检验a=1时f（x）在x=-1处取得极值，
所以a=1．
（2）由（1）知，f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞3，由f′（x）＜0得-1＜x＜3，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3）．
（3）由（2）知，当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减；当3＜x≤4时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x=3时f（x）取得极小值，也为最小值，f（x）min=f（3）=×33-32-3×3+1=-8，
对任意的x∈[-1，4]都有f（x）≥m成立，等价于f（x）min≥m，
所以-8≥m，
所以m的取值范围为：m≤-8．