Question

已知椭圆的右焦点F（1，0），离心率为．过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆的离心率公式、关系式a2=b2+c2即可得出a、b，进而得到椭圆的标准方程；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件即可得出斜率的取值范围．
【解析】
（1）由已知得：，
∴a=2，b2=a2-c2=3，
∴椭圆C的方程为
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
∵直线l过焦点F，∴△＞0，
且，
∴，
同理，
故|FA|•|FB|=（1+k2）|（x1-1）（x2-1）|=．
由，∴，解得0≤k2≤2．
所以直线l的斜率k的取值范围是．