已知函数f（x）=lnx+x2+ax．（I）当a=-4时，求方程f（x）+x2...

已知函数f（x）=lnx+x²+ax．
（I）当a=-4时，求方程f（x）+x²=0在（1，+∞）上的根的个数；
（II）若f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

（I）把a=-4代入，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，求导数可知g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，结合零点的存在性定理可得结论；（II）由题意只需g′（x）在（0，+∞）上恰有两个互不相等的零点即可，进而可得，解之即可．【解析】（I）当a=-4时，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，由g′（x）=+4x-4=在（1，+∞）上恒大于0可知， g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，故g（x）在区间（1，+∞）上恰有1个零点；（II）由题意可得g′（x）=+2x+a= 在（0，+∞）上恰有两个互不相等的零点即可，只需对分子上的二次函数有，解得a＜

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考点分析：

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