Question

已知数列．
（1）求； 
（2）证明：．

Answer

（1）由已知令n=2，3，4代入即可求得a2，a3，a4的值，对通分再用已知即可证明；
（2）先证，由（1）知=an+1-an-1，，…，，，=1，将各式相加再用基本不等式即可证明；再证＜3-1，先证≤an≤（n≥2，n∈N*），用数学归纳法即可证明，n=1时单独检验即可，综上即可得到结论；
【解析】
（1）由题意得=1，，=，下面证明：，
===an+2；
证明：（2）先证，
由（1）知=an+1-an-1，，…，，，=1，
将以上式子相加得：=an+1+an-a2-a1+1=an+1+an-1≥2=2-1；
为证＜3-1，先证≤an≤（n≥2，n∈N*），
用数学归纳法：
①当n=2时，a2=1，结论显然成立；
②假设n=k时，≤ak≤成立，
则当n=k+1时，由ak+1ak=k⇒ak=，
由归纳假设有≤ak≤⇒≤ak+1≤，
因为，所以≤ak+1≤也成立，
综上，≤an≤＜（n≥2，n∈N*），
所以，当n≥2时，=an+1+an-1=+an-1＜+-1=3-1，
又n=1时，显然有＜3-1成立，
综上所述，．