Question

如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°．
①求证四棱锥 A₁-ABCD为正四棱锥；
②求侧棱AA₁到截面B₁BDD₁的距离；
③求侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角大小．

Answer

①证明四棱锥的底面ABCD为正方形，顶点A1在底面的射影是底面正方形的中心，即可证明棱锥是正四棱锥；
②侧棱AA1到截面B1BDD1的距离转化为点O与侧棱AA1的距离，通过三角形的中位线求出距离即可；
③判断∠MBD是所求二面角侧面A1ABB1与截面B1BDD1的锐二面角的平面角，通过解三角形求出二面角的大小即可．
【解析】
（1）证明：由AA1=AD=AB，及∠A1AD=∠A1AB=60°
⇒△A1AD、△AA1B都是正三角形，从而AA1=A1D=A1B，
设A1 在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，
所以O是Rt△ABD的外心，
因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，
所以O是底面正方形ABCD的中心．
所以四棱锥A1-ABCD是正四棱锥．
（2）【解析】
由DB⊥平面AA1O⇒截面BB1D1D⊥平面AA1O
⇒点O与侧棱AA1的距离d等于AA1和截面BB1D1D之间的距离．
取AA1的中点M，则OM∥A1C，且OM⊥AA1，OM=A1C=a，
∴所求距离为a．
（3）【解析】
注意到所求二面角的棱是B1B，
由M是AA1的中点⇒MB⊥AA1，B1B∥AA1⇒MB⊥B1B，
又DB⊥AA1，AA1∥B1B⇒DB⊥B1B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨设AB=a=2，则BD=2，MB=MD=，
∴tanMBD=．
∴侧面A1ABB1与截面B1BDD1的夹角为arctan．