Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
（3）求证：曲线y=f（x）上不存在两个不同的点A，B，使过A，B两点的切线都垂直于直线AB．

Answer

（1）因为函数是奇函数则f（-x）=-f（x）解出b的值又因为x=-1时，函数取极值1即f′（1）=0且f（1）=-1解出a、c即可；（2）利用导数得到函数为减函数f（1）≤f（x）≤f（-1）得到|f（x）|≤1，所以，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤1+1=2得证；（3）是证明题，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），∵，过A，B两点的切线平行，∴f′（x1）=f（x2），可得x12=x22∵x1≠x2，∴x1=-x2，由于过A点的切线垂直于直线AB，证出3x14-12x12+13=0无解．所以曲线上不存在两个不同的点A，B，过A，B两点的切线都垂直于直线AB．
【解析】
（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即bx2=0对于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c
∵x=-1时，函数取极值1，
∴3a+c=0，-a-c=1
解得：
（2），
x∈（-1，1）时f′（x）＜0，∴f（x）在x∈[-1，1]上是减函数，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），则|f（x）|≤1，
当x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤1+1=2
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），
∵，过A，B两点的切线平行，
∴f′（x1）=f′（x2），可得x12=x22
∵x1≠x2，
∴x1=-x2，则，
由于过A点的切线垂直于直线AB，
∴，
∴3x14-12x12+13=0，
∵△=-12＜0
∴关于x1的方程无解．
∴曲线上不存在两个不同的点A，B，过A，B两点的切线都垂直于直线AB．