Question

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．
（I）求证：PQ∥平面BCE；
（II）求证：AM⊥平面ADF．

Answer

（Ⅰ）利用矩形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用平行四边形的判定定理和性质定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理即可得出．
证明：（Ⅰ）连接AC．∵四边形ABCD是矩形，Q为BD的中点．
∴Q为AC的中点．又在△AEC中，P为AE的中点，∴PQ∥EC．
∵EC⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M是EF的中点，∴EM=AB=，
又∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AM∥BE，AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=．
∴AM2+AF2=MF2，∴∠MAF=90°．
∴MA⊥AF．
∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥AM．
又∵AF∩AD=A，∴AM⊥平面ADF．