Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF₂B的面积为，求直线l的方程．

Answer

（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；
（2）为避免讨论可设过F1的直线l的方程为x=ty-1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF2B的面积就是=，由此求出t的值，则直线l的方程可求．
【解析】
（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
由|F1F2|=2得c=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），
又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2-c2=4-1=3．
∴椭圆C的方程为；
（2）如图，
设直线l的方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），
把x=ty-1代入，得：（3t2+4）y2-6ty-9=0
，
∴==，
∴，
解得：（舍）或t2=1，t=±1．
故所求直线方程为：x±y+1=0．