Question

对于数列{x_n}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把这样一类数列{x_n}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{x_n}的最小正周期，以下简称周期．例如当x_n=2时，{x_n}是周期为1的周期数列，当时，{y_n}的周期为4的周期数列．
（1）设数列{a_n}满足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁+a，a₂=b（a，b不同时为0），且数列{a_n}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由；
②若a_na_n+1＜0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由．
（3）设数列{a_n}满足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a₂=2，b_n=a_n+1，数列{b_n}的前n项和S_n，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N^*都有成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．

Answer

（1）直接利用数列{an}是周期为3的周期数列以及an+2=λ•an+1-an可以推得（λ+1）（an+2-an+1）=0即可求常数λ的值；
（2）先利用4Sn=（an+1）2求得an-an-1=2或an=-an-1（n≥2）．
①由an＞0得an-an-1=2（n≥2），求出数列{an}的通项公式即可判断数列{an}是否为周期数列；
②由anan+1＜0的an=-an-1（n≥2），求出数列{an}的通项公式即可判断数列{an}是否为周期数列；
（3）先由数列{an}满足an+2=-an+1-an（n∈N*），推得数列{an}以及数列{bn}是周期为3的周期数列，求出数列{bn}的前3项，即可求出数列{bn}的前n项和Sn以及数列{bn}的前n项和Sn的取值范围，即可求出对应的p、q的取值范围．
【解析】
由（1）数列{an}是周期为3的数列，
得an+3=an，且⇒（λ+1）（an+2-an+1）=0，即λ=-1．

（2）当n=1时，s1=a1，4s1=（a1+1）2⇒a1=1，
当n≥2时，4an=4sn-4sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2．⇒（an-1）2=（an-1+1）2，即an-an-1=2或an=-an-1（n≥2）．
①由an＞0有an-an-1=2（n≥2），则{an}为等差数列，即an=2n-1，
由于对任意的n都有an+m≠an，所以数列{an}不是周期数列．
②由anan+1＜0有an=-an-1（n≥2），数列{an}为等比数列，即an=（-1）n-1，
即an+2=an对任意n都成立．
即当anan+1＜0时是{an}周期为2的周期数列．

（3）假设存在p，q．满足题设．
于是⇒an+3=an，又bn=an+1则bn+3=bn，
所以{bn}是周期为3的周期数列，所以{bn}的前3项分别为2，3，-2．
则sn=，
当n=3k时，=1；
当n=3k-2时，=1+⇒1＜≤2；
当n=3k-1时，=1+⇒1＜，
综上1≤≤，
为使p≤q恒成立，只要p≤1，q即可．
综上，存在p≤1，q满足题设．