Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°，F为AE中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大小的余弦值；
（Ⅲ）求点F到平面BDE的距离．

Answer

（Ⅰ）取BE的中点O，连OC，OF，DF，可利用条件得OC∥FD，再利用条件证得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）因为二面角A-EB-D与二面角F-EB-D相等，即找二面角F-EB-D的平面角为∠FOD即可．
（Ⅲ）由OFDC为正方形可得CF⊥OD，CF⊥EB⇒CF⊥面EBD，所以点F到平面BDE的距离为FC，再由条件求出结果即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OF与BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD与BA平行且相等，
∴OF与CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（Ⅱ）二面角A-EB-D与二面角F-EB-D相等，
由（Ⅰ）知二面角F-EB-D的平面角为∠FOD．
BC=CE=2，∠BCE=120°，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，
∴OFDC为正方形，
∴∠FOD=45°，
∴二面角A-EB-D的余弦值为．（10分）
（Ⅲ）∵OFDC为正方形，
∴CF⊥OD，CF⊥EB，
∴CF⊥面EBD，
∴点F到平面BDE的距离为FC，
∴点F到平面BDE的距离为．（14分）