Question

选修4-1：几何证明选讲
已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

Answer

（1）利用AD平分∠EAC，可得∠EAD=∠DAC，利用四边形AFBC内接于圆，可得∠DAC=∠FBC，由此可知FB=FC；
（2）利用AB是圆的直径，可得∠ACD=90°，结合∠EAC=120°，可得∠DAC=∠EAC=60°，∠D=30°，从而利用特殊角的三角函数，即可求得AD的长．
（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；
∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC； …（3分）
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．…（5分）
（2）【解析】
∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC=60°，∠D=30°…（7分）
在Rt△ACB中，∵BC=6，∠BAC=60°∴AC=2
又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=2，
∴AD=4 …（10分）