Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），从而可得＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；
法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）及x=，即可证得结论；
（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
求导数，得f′（x）=-a．
由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1
∴f′（-）=1，即-a=1，∴a=1．
此时f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=-1=，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．
∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，
∴f（x）max=f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，
即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．
令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，
∴＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n）．
将上述n个不等式依次相加，得
1+++…+＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]，
∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…（10分）
法（二）：用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．
（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．
那么1+++…++＞ln（k+1）+，
由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）．
令x=，则＞ln（1+）=ln，
∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln=ln（k+2），
∴1+++…++＞ln（k+2）．
即当n=k+1时，不等式也成立．…（10分）
根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．
（Ⅲ）【解析】
∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．
由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0．
（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；
（2）当b＞0时，g′（x）=b（ex-1），
当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，
∴g（x）min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．
综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…（14分）