Question

如图，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，且y₁y₂=-1．
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

Answer

（1）设出点M的坐标和直线l的方程，代入抛物线方程利用韦达定理求得x=-y1y2，进而求得x，则点M的坐标可得．
（2）利用y1y2=-1，求得x1x2+y1y2=0，进而判断出OA⊥OB．
（3）利用（1）中的方程根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而求得|y1-y2|的表达式，进而利用|OM|代入三角形面积公式求得三角形AOB的面积表达式，利用m的范围求得面积的最小值．
【解析】
（1）设M点的坐标为（x，0），直线l方程为x=my+x，
代入y2=x得y2-my-x=0①，
y1，y2是此方程的两根，
∴x=-y1y2=1，即M点的坐标为（1，0）．
（2）∵y1y2=-1，
∴x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2（y1y2+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y1+y2=m，y1y2=-1，且|OM|=x=1，
于是==≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．