Question

定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续，当x≠0时，f′（x）+x^-1f（x）＞0，则函数g（x）=f（x）+x^-1的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．0或2

Answer

由题意可得，进而可得函数xf（x）单调性，而函数的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点．
【解析】
由f'（x）+x-1f（x）＞0，得，
当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，函数xf（x）单调递增；
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函数xf（x）单调递减．
又，函数的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．
当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，
所以函数g（x）=f（x）+x-1的零点个数为0个．
故选C．