Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求P到平面BB₁C距离．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知，本题可由面面垂直的性质定理证明线面垂直，由面BB1C1C⊥面ABC，因为面BB1C1C∩面BB1C1C=BC，AC⊥BC，易得所证明结论；
（II）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值可取BB1中点E，连接CE，AE，证明∠CEA即为二面角A-B1B-C的平面角，再解三角形求出线面角的正切值即可；
（III）由（I）结合题设条件三棱锥P-BB1C为正三棱锥可得出点P必在过三角形BB1C的重心且与直线AC平行的直线上，找出此线与面AA1B1B的交点，此点即为P，求出P到平面BB1C距离即可．
【解析】
（I）面BB1C1C⊥面ABC，因为面ABC∩面BB1C1C=BC，AC⊥BC，所以AC⊥面BB1C1C．
（II）取BB1中点E，连接CE，AE，在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，
又AC⊥面BB1C1C且BB1⊂面BB1C1C，
∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A-B1B-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥CE，
在Rt△ECA中，∵CE=，
∴AC=CE•tan30°=1，
又AC⊥面BB1C1C，∴∠CB1A即AB1与面BB1C1C所成的线面角，
在Rt△B1CA中，tan∠CB1A==
（III）在CE上取点P1，使=，则因为CE是△B1BC的中线，
∴P1是△B1BC的重心，
在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，⇔AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA
∴P1P⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，且=，
∴PP1=．