Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；
（Ⅱ）设AB=1，求多面体ABCDE的体积．

Answer

（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF∥BP，从而可得AF∥平面BCE．
（II）计算直角梯形ABED的面积，C到平面ABDE的距离，即可求得多面体ABCDE的体积．
（Ⅰ）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．
又AB∥DE，且AB=
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）【解析】
∵直角梯形ABED的面积为=3，C到平面ABDE的距离为，
∴四棱锥C-ABDE的体积为=．即多面体ABCDE的体积为．