Question

函数f（x）满足：（i）∀x∈R，f（x+2）=f（x），（ ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．给出如下四个结论：
①函数f（x）在区间[1，2]单调递减；
②函数f（x）在点（）处的切线方程为4x+4y-5=0；
③若数列{a_n}满足a_n=f（2n），则其前n项和S_n=n；
④若[f（x）]²-2f（x）+a=0有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．
其中正确结论的个数是（ ）
A．l
B．2
C．3
D．4

Answer

利用函数的周期性与单调性判断①的正误；利用函数的切线方程判断②的正误；求出数列的前n项和判断③的正误；通过函数的值域判断④的正误；
【解析】
因为函数f（x）满足：（i）∀x∈R，f（x+2）=f（x），（ ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x2+1．
对于①，由题意可知函数在[-1，0]上是增函数，函数的周期为2，所以函数f（x）在区间[1，2]单调递减，是不正确的；
对于②，函数x∈[-1，1]，f（x）=-x2+1，所以f′（x）=-2x，在点（）处的切线的斜率为：-1，
切线方程为：y-=-（x-）即切线方程为4x+4y-5=0，正确；
对于③，若数列{an}满足an=f（2n）=1，数列是常数数列，则其前n项和Sn=n，正确；
对于④，函数f（x）∈[0，1]，若[f（x）]2-2f（x）+a=0有实根，所以，可得0≤a≤1，则a的取值范围是0≤a≤1．正确．
故选C．