Question

已知x=-2是函数f（x）=（ax+1）e^x的一个极值点．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[-4，0]，求函数f（x）的单调区间及最大值．

Answer

（I）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，进而根据x=-2是函数f（x）=（ax+1）ex的一个极值点．f′（-2）=0，可得实数a的值；
（Ⅱ）根据（I）中结论，求出函数f（x）的解析式及导函数的解析式，分析导函数的符号，进而得到函数的单调性，分析区间两个端点的函数值，可得函数的最大值．
【解析】
（I）∵f（x）=（ax+1）ex
∴f′（x）=（ax+a+1）ex
∵x=-2是函数f（x）=（ax+1）ex的一个极值点．
∴f′（-2）=（-2a+a+1）ex=0
即-a+1=0
解得a=1
（II）由（I）得f（x）=（x+1）ex，
f′（x）=（x+2）ex
∵x∈[-4，-2）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
x∈（-2，0]时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
又∵f（-4）=-3e-4，f（0）=1＞f（-4），
故函数f（x）的单调递减区间为[-4，-2），函数f（x）的单调递增区间为（-2，0]，最大值为1