Question

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）利用数列{an}的前n项和2Sn+3=3an再写一式，两式相减可得数列{an}是等比数列，从而可得数列{an}的通项公式；求出等差数列{bn}的首项，公差，从而可得{bn}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可得数列{anbn}的前n项和Tn．
【解析】
（I）∵数列{an}的前n项和2Sn+3=3an（n∈N*），∴n≥2时，2Sn-1+3=3an-1（n∈N*），
∴两式相减可得2an=3an-3an-1，∴an=3an-1（n≥2）
∵n=1时，∴a1=3，a2=9
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列
∴an=3n；
∵{bn}是等差数列，且b2=a2，b4=a1+4，b2=9，b4=7，公差为-1，的等差数列
∴b1=10，
∴bn=10-（n-1）=11-n．
（II）cn=anbn=（11-n）•3n
∴Tn=10•3+9•32+…+（11-n）•3n
∴3Tn=10•32+9•33+…+（12-n）•3n+（11-n）•3n+1
两式相减可得-2Tn=30-32-33-…-3n-（11-n）•3n+1=30--（11-n）•3n+1
∴Tn=（）•3n+1-