Question

某厂家研发甲、乙两种产品准备试产，经调研，生产甲产品需固定成本100万元，每生产一件产品，成本增加1万元，每件销售价格p（万元/件）与产量x（件）满足关系p=25；乙产品的利润L（万元）与成本t（万元）的关系为L=现有资金200万元，所生产的产品都能销售出去，并且甲产品必须生产．
（I）要使甲产品的利润最大，应生产甲产品多少件；
（Ⅱ）若资金全部投入生产，如何分配对甲、乙的投资，能使厂家获得的利润最大？

Answer

（Ⅰ）先求出生产甲产品x件的利润表达式，再利用函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）先得出厂家获得利润的函数表达式，再利用导数和二次函数得出函数的单调性即可得出最大值．
【解析】
（Ⅰ）设f（x）表示生产甲产品x件的利润，则f（x）=px-100-x=（25-）x-100-x==，x必须满足解得0＜x≤100．
∴x∈（0，100]，因此当x=96时，f（x）取得最大值，f（96）=1052．
（Ⅱ）设200万元资金中的x万元用于生产乙产品，则（200-x）万元用于生产甲产品（至多只生产甲产品200-x-100=100-x件，∵甲产品必须生产，∴0≤x＜100）．
设g（x）表示厂家获得的利润，则g（x）=，
①当0≤x≤4时，g（x）单调递增，∴x=4，g（x）取得最大值g（4）=1052；
②当4＜x＜100时，g（x）=80lnx-，则=，
令g′（x）=0，解得x=20．
当4＜x＜20时，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（4，20）上单调递增；当20＜x＜100时，g′（x）＜0，函数g（x）在区间（4，20）上单调递减．
∴g（x）在x=20取得最大值，且g（20）=80ln20+1020．
∵g（20）-g（4）=80ln20-32＞80-32＞0，
∴当x=20时，能使厂家获得的利润最大．即把20万元用于生产乙产品，把180万元用于生产甲产品，能使厂家获得最大利润为80ln20+1020万元．