Question

对于函数，
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）若f（x）是奇函数，求a值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer

（1）按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（2）利用奇函数定义域内有0，f（0）=0来求a值；
（3）利用单调性和奇偶性把f（2t+1）+f（t-5）≤0转化为2t+1≥-t+5即可．
（1）证明；设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故＞0，＞0，＞0．
即f（x1）-f（x2）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（2）【解析】
由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0⇒a=-1．
（3）【解析】
有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t≥
故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥}．