Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0，a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．
（3）是否存在实数m和n（m＜n ），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值．

Answer

（1）由f（1-x）=f（1+x），得函数的对称轴为x=1，又方程f（x）=x有两相等实根，即ax2+（b-1）x=0有两相等实根，利用△=0可得关于a，b的方程，由此可求出a，b的值．
（2）区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化成二次函数在区间[-1，1]上恒为正，借助二次函数的性质转化即可求参数．
（3）本题主要是借助函数的单调性确定出函数在[m，n]上的单调性，找到区间中那个自变量的函数值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，说明存在，否则不存在．
【解析】
（1）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）的对称轴为x=1即即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根∴ax2+bx=x即ax2+（b-1）x=0有等根0，
∴b=1，
∴
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，
即＞2x+m在区间[-1，1]上恒成立
 即x2+2x+2m＜0在区间[-1，1]上恒成立故有解得m≤-
 即当m≤-时，在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方
（3）≤
   故3n≤，故m＜n≤
  又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有
  解得，又m＜n，故m=-4，n=0