Question

设P为双曲线x²-=1上的一点，F₁，F₂是该双曲线的左、右焦点，若△PF₁F₂的面积为12，则∠F₁PF₂等于    ．

Answer

由双曲线方程算出焦距|F1F2|=2，根据双曲线定义得到||PF1|-|PF2||=2．然后在△PF1F2中运用余弦定理，得出关于|PF1|、|PF2|和cos∠F1PF2的式子；而△PF1F2的面积为12，得到|PF1|、|PF2|和sin∠F1PF2的另一个式子．两式联解即可得到∠F1PF2的大小．
【解析】
∵双曲线方程为x2-=1，
∴c2=a2+b2=13，可得双曲线的左焦点F1（-，0），右焦点F2（，0）
根据双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=2a=2
∴由余弦定理，得|F1F2|2=（|PF1|-|PF2|）2+（2-2cos∠F1PF2）|PF1|•|PF2|
即：52=4+（2-2cos∠F1PF2）|PF1|•|PF2|，可得|PF1|•|PF2|=
又∵△PF1F2的面积为12，
∴|PF1|•|PF2|sin∠F1PF2=12，即=12
结合sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1，
解之得sin∠F1PF2=1且cos∠F1PF2=0，
∴∠F1PF2等于
故答案为：