Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer

（Ⅰ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，设G点坐标为（m，m，0），根据向量平行的充要条件，可得变量m的值，进而可得点G在线段AC上的位置．
（II）分别求出平面PBC的一个法向量和平面PDC的一个法向量，进而根据二面角B-PC-D的大小为，可得变量a值，进而根据∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，可得PC与底面ABCD所成角的正切值．
【解析】
（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，
设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
E（，，0），F（，，），G（m，m，0）（0＜m＜）．
要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，
而=（，，-a），
由=λ可得
解得λ=，m=，
∴G点坐标为（，，0）
∴=，
故当AG=AC时，FG∥平面PBD．
（Ⅱ）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），
则
而=（1，1，-a），=（0，1，0），
∴
取z=1，得=（a，0，1），
同理可得平面PDC的一个法向量=（0，a，1），
设u，v所成的角为θ，
则|cosθ|=|cos|=，
即=，
∴=，
∴a=1，
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA===．