Question

根据条件，分别求出椭圆的方程：
（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8；
（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂组成的三角形的周长为4+2，且．

Answer

（1）先求出椭圆中的长半轴长和短半轴长，再判断焦点位置，因为焦点位置不确定，所以求出的椭圆方程有两种形式．
（2）结合函数图形，通过直角三角形△F2OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．
【解析】
（1）∵椭圆的长轴长为8，即2a=8，
∴a=4，∵离心率为，即e==，∴c=2
∵b2=a2-c2，∴b2=16-4=12，
当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为
当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为．
所求椭圆方程为：或
（2）设长轴为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由得：c=，
所以△F2OF1的周长为：2a+2c=4+2，∴a=2，c=，∴b2=1
故得：．