Question

已知函数f（x）=x³-3x²+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值和函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若方程恰有三个不同的解，求b的取值范围．

Answer

（1）根据已知得f′（-1）=0，得到a，利用导数研究函数的单调性的步骤求单调区间；
（2）把给定方程做适当的等价变换，得到g（x）的图象与x轴有3个交点；求出单调区间，求出函数的极值，依题意极大值大于0，极小值小于0，进而解出b的取值范围．
【解析】
（1）由已知得f′（x）=3x2-6x+a，
∵在x=-1处的切线与x轴平行
∴f′（-1）=0，解得a=-9．
这时f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；
由f′（x）＜0，解-1＜x＜3．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1）∪（3，+∞）；单调减区间为（-1，3）．
（2）令g（x）=f（x）-（x2-15x+3）=x3-x2+6x+b-3
则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点
∵g′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2）
∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；
由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
∴g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b-；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b-1．
依题意得，解得＜b＜1．
故b的取值范围为（，1）