Question

等差数列{a_n}及等比数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a₂=b₂＞0，则当n≥3时有（ ）
A．a_n＞b_n
B．a_n=b_n
C．a_n≥b_n
D．a_n≤b_n

Answer

利用等差数列、等比数列的图象公式、分类讨论、二项式定理、数学归纳法即可得出．
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，a1=b1=a＞0，
∵a2=b2＞0，∴a+d=aq＞0，可得d=a（q-1）．
下面对d分类讨论（n≥3）：
①若d=0，则q=1，∴an=bn=a；
②若d＞0，则d=a（q-1）＞0，∴q＞1．
∴an=a+（n-1）a（q-1），
=a[（q-1）+1]n-1=+…+，
∴bn-an=a+…+＞0，
∴bn＞an．
③若d＜0，则0＜q＜1．当n≥3时，下面用数学归纳法证明：an＜bn．（*）
（i）当n=3时，a3=a+2d=a+2a（q-1）=a（2q-1）＜aq2=b3，即此时成立．
（ii）假设当n=k≥3时，不等式成立，即a+（k-1）d＜aqk-1，
则n=k+1时，ak+1=ak+d＜bk+d，
下面证明：bk+d＜bk+1，即证明aqk-1+a（q-1）＜aqk，
即证明q-1＜qk-1（q-1），
∵0＜q＜1，∴即证明1＞qk-1，而此式显然成立，因此当n=k+1时，不等式（*）成立，即an＜bn．
由上可知：不等式（*）对任意的大于3的正整数都成立．
综上①②③可知：对∀n∈N*（n≥3）都有an≤bn．
故选D．