Question

P（x，y）（x≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．

Answer

（1）根据P（x，y）（x≠±a）是双曲线E：上一点，代入双曲线的方程，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为，求出直线PM，PN的斜率，然后整体代换，消去x，y，再由c2=a2+b2，即可求得双曲线的离心率；
（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代入，即可求得λ的值．
【解析】
（1）∵P（x，y）（x≠±a）是双曲线E：上一点，
∴，
由题意又有，
可得a2=5b2，c2=a2+b2，
则e=，
（2）联立，得4x2-10cx+35b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1•x2=，
设=（x3，y3），，
即
又C为双曲线上一点，即x32-5y32=5b2，
有（λx1+x2）2-5（λy1+y2）2=5b2，
化简得：λ2（x12-5y12）+（x22-5y22）+2λ（x1x2-5y1y2）=5b2，
又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12-5y12=5b2，x22-5y22=5b2，
而x1x2-5y1y2=x1x2-5（x1-c）（x2-c）=-4x1x2+5c（x1+x2）-5c2=10b2，
得λ2+4λ=0，解得λ=0或-4．