Question

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为    ．（将所有正确的命题序号填在横线上）

Answer

根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．
【解析】
①因为{an}是等方差数列，所以an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数）成立，
得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数列；
②因为an2-an-12=（-1）2n-（-1）2n-1=1-（-1）=2，所以数列{（-1）n}是等方差数列；
③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，ak+1，ak+2，…，a2k，…，a3k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
因为ak+12-ak2=ak+22-ak+12=ak+32-ak+22=…=a2k2-ak2=p
所以（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+（ak+32-ak+22）+…+（a2k2-a2k-12）=a2k2-ak2=kp，
类似地有akn2-akn-12=akn-12-akn-22=…=akn+32-akn+22=akn+22-akn+12=akn+12-akn2=p
同上连加可得akn+12-akn2=kp，所以，数列{akn}是等方差数列；
④{an}既是等方差数列，又是等差数列，所以an2-an-12=p，且an-an-1=d（d≠0），所以an+an-1=，联立解得an=+，
所以{an}为常数列，当d=0时，显然{an}为常数列，所以该数列为常数列．
综上，正确答案的序号为：①②③④
故答案为：①②③④