Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）求导函数，可得f′（x）=3x2-2ax-3，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；
（2）依题意x=-是f（x）的一个极值点，所以，从而可得f（x）=x3-4x2-3x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在[1，4]上的最大值；
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根，即方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=3x2-2ax-3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0（5分）
（2）依题意x=-是f（x）的一个极值点，∴
即
∴a=4，∴f（x）=x3-4x2-3x（6分）
令f′（x）=3x2-8x-3=0，得则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x 1 （1，3） 3 （3，4） 4
f′（x） - +
f（x） -6 -18 -12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6（10分）
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根（12分）
∴x3-4x2-3x-bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，
∴
∴b＞-7，且b≠-3（14分）