Question

（1）设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为，求椭圆的标准方程．
（2）设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

Answer

（1）由抛物线方程得到它的焦点坐标为F（2，0）也是椭圆的右焦点，由此得到m2-n2=4．根据椭圆离心率为，得到m2-n2=m2，联解得到m2=16，n2=12，即得该椭圆的标准方程；
（2）根据椭圆+=1经过点A的纵坐标为4，算出A的横坐标是，得A（，4）．算出椭圆的焦点坐标为（0，±3）也是双曲线的焦点，由此可设双曲线方程为-=1（0＜k＜9），代入点A坐标解出k=4，从而得到此双曲线的标准方程．
【解析】
（1）∵抛物线y2=8x的焦点坐标为F（2，0）
∴椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m2-n2=4…①
∵椭圆的离心率e==，∴=…②
联解①②，得m2=16，n2=12
∴该椭圆的标准方程为+=1；
（2）∵椭圆+=1经过点A的纵坐标为4
∴设A（t，4），可得+=1，解之得t=，A（，4）
∵椭圆+=1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，
∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为-=1（0＜k＜9）
将点A（，4）代入，得-=1，解之得k=4（舍负）
∴双曲线方程为=1