Question

已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2-c2，可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得 ，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，可得 ，即，…（1分）
又椭圆的离心率为，即，…（2分）
所以a=3，，
所以b2=a2-c2=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0．…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），有，．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 ．…（7分）
由 ，，得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（8分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 ，…（10分）
将 ①代入上式得
解得 ，或m=3．…（12分）